digital logik bab 2: Sistem Nombor, Operasi dan Kod

rujukan penuh: META Laboratory UniTen

Pada akhir bab ini, pelajar dapat:

· mengenali pelbagai jenis nombor asas

· menukar nombor dari satu asas ke asas yang lain

· mengungkap nombor negatif menggunakan kaedah pelengkap dan magnitud bertanda

· melaksanakan operasi aritmetik ke atas mana-mana sistem nombor

· menukar nombor ke beberapa jenis kod seperti BCD, Gray, dan ASCII

2.1 Sistem Nombor Berkedudukan

Nombor yang selalu kita gunakan dalam hidup kita hanya terdiri daripada 10 simbol atau angka, 0

hingga 9. Sistem nombor ini dikenali sebagai sistem perpuluhan (decimal). Ambil nombor 54310

sebagai contoh. Subskrip 10 menunjukkan nombor itu adalah dalam asas 10. Setiap angka dalam

nombor tersebut mewakili nilai “rumah” tertentu. Angka “3” adalah “rumah sa”, angka “4”

adalah “rumah puluh” manakala angka “5” adalah “rumah ratus”. Inilah yang kita telah belajar

semasa kecil dahulu. Sebenarnya, istilah yang lebih tepat untuk “rumah” adalah pemberat

(weight). Setiap angka dalam mana-mana nombor asas akan mempunyai pemberatnya yang tersendiri. Untuk asas 10, nilai pemberat adalah 10^n di mana n ialah kedudukan angka dalam nombor. Sebagai contoh;



2.2 Penukaran Nombor

Kita tidak mahu bergantung kepada jadual di atas untuk menukar nombor dari satu asas ke asas

yang lain. Oleh itu, teknik-teknik pertukaran perlu diketahui.

2.2.1 Pertukaran Dari Nombor Asas Sepuluh

Bagi nilai yang lebih besar daripada sifar, kaedah pembahagian ulangan (repetitive

division) digunakan. Bagi nilai yang kecil daripada sifar, kaedah pendaraban ulangan

(repetitive multiplication) digunakan.



2.2.2 Pertukaran ke Nombor Asas Sepuluh

Untuk menukar dari mana-mana sistem nombor ke nombor asas sepuluh, kaedah

penambahan pemberat (sum-of-weights) digunakan. Setiap digit didarabkan dengan

pemberat masing-masing, kemudian dijumlahkan untuk mendapatkan nilai asas 10.



2.2.3 Pertukaran dari Nombor Asas Lapan dan Enam Belas ke Asas Dua

Digit terbesar dalam asas 8 ialah 78. Satu digit asas 8 boleh diwakili oleh 3 bit. Manakala

digit terbesar dalam asas 16 ialah F16 yang boleh diwakili oleh 4 bit. Oleh itu, apabila

diberi satu nombor asas 8, setiap digit nombor tersebut hendaklah ditukar ke nilai asas 2

menggunakan tiga bit. Pemberat untuk set 3 bit ialah 4 2 1. Manakala setiap simbol

dalam nombor asas 16 hendaklah dtukar ke nilai asas 2 menggunakan empat bit.

Pemberat untuk kumpulan 4 bit ialah 8 4 2 1.




2.2.4 Pertukaran dari Nombor Asas Dua ke Asas Lapan dan Enam Belas

Untuk menukar dari asas dua ke asas 8, bit-bit dikumpulkan bertiga-tiga dan setiap set

tiga bit itu ditukarkan ke satu digit asas lapan. Manakala untuk menukar ke asas 16, bitbit dikumpulkan dalam kumpulan berempat sebelum ditukarkan ke satu digit asas enam

belas. Pengumpulan bit-bit mesti dimulakan di titik perpuluhan.



2.2.5 Pertukaran dari Nombor Asas Lapan ke Asas Enam Belas dan Sebaliknya

Nombor asas 8 tidak boleh ditukar ke asas 16 secara langsung, dan begitu juga sebaliknya

Nombor itu mesti ditukar ke asas 2 atau asas 10 terlebih dahulu. Pertukaran melalui

nombor asas 2 adalah lebih mudah berbanding asas 10. Cara pertukaran yang dipelajari

dalam seksyen 2.2.3 dan 2.2.4 digunakan.



2.2.6 Pertukaran Asas-asas yang Lain

Secara amnya, pertukaran nombor boleh dibuat dalam mana-mana asas. Katakan nombor

2036 hendak ditukar ke asas 11, bagaimanakah caranya? Nombor itu hendaklah ditukar ke

asas 10 terlebih dulu. Dengan menggunakan teknik yang dipelajari dalam seksyen 2.2.2,

maka 2036 = 7510. Seterusnya, nombor asas 10 itu ditukar ke asas 11 menggunakan teknik

dalam seksyen 2.2.1, menghasilkan 6911.



2.3 Operasi Nombor secara Aritmetik

Anda telah mempelajari operasi penambahan, penolakan, pendaraban dan pembahagian dalam

sistem perpuluhan sebelum ini. Kali ini, tumpuan akan diberi kepada operasi yang melibatkan

asas-asas yang lain.

2.3.1 Operasi Penambahan

Sekiranya nombor yang hendak ditambah berlainan sistem, maka hendaklah disamakan

asasnya sama ada menukar salah satu atau kedua-dua nombor itu. Kemudian, nombor itu

ditambah seperti dalam asas 10. Hasil tambah itu perlu ditukar ke asas yang asal dan

sekiranya terdapat pembawa, ia hendaklah ditambah ke digit berikutnya.5

2.3.2 Operasi Penolakan

Konsep penolakan dalam nombor asas yang lain adalah sama seperti dalam asas 10.

Dalam nombor asas 10, apabila nilai yang ditolak adalah lebih besar, pinjaman bernilai

10 hendaklah dibuat dari digit berikutnya. Nilai pinjaman ini ditambah ke digit penolak

sebelum melakukan operasi penolakan. Dalam asas 2, pinjaman adalah bernilai 2

manakala dalam asas 8, pinjaman bernilai 8 dan begitulah seterusnya.

2.3.3 Operasi Pendaraban

Apabila kita mendarab dalam perpuluhan, setiap digit dalam dua nombor itu didarab dan

menghasilkan komponen-komponen produk (partial products). Komponen ini

kemudiannya ditambah mengikut aturan yang ditetapkan. Untuk sistem nombor bukan

asas 10, pendaraban digit dan komponen yang terhasil adalah masih dalam asas sepuluh.

Selepas komponen-komponen itu ditambah, hasilnya mesti ditukar ke sistem nombor

yang sepatutnya.

2.3.4 Operasi Pembahagian

Pembahagian dalam sistem nombor bukan asas 10 adalah sukar. Nombor yang hendak

dibahagi boleh ditukar ke asas 2 untuk memudahkan pembahagian. Nilainya ‘1’ jika digit

dalam nombor itu boleh dibahagi 2 manakala nilainya ‘0’ jika sebaliknya. Namun, anda

akan pening kepala melihat rangkaian 1 dan 0 yang panjang. Cara yang lain adalah untuk

membahagi dalam asas 10.6

2.4 Perwakilan dan Operasi Nombor Bertanda

Setakat ini, kita cuma menumpu kepada magnitud sesuatu nombor tanpa melihat sama ada

nombor itu positif atau negatif. Kini, tanda tersebut akan diambil kira. Ada dua cara untuk

mewakilkan nombor bertanda: 1) magnitud bertanda (signed magnitude), dan 2) pelengkap

(complement).

Teknik magnitud bertanda:

   Biasanya kita menggunakan simbol “+” untuk nombor positif dan “-“ untuk nombor negatif. Kali

ini, satu digit bertanda akan digunakan.

Untuk nombor asas 10, wakilkan dengan digit ‘0’ jika positif dan ‘9’ jika negatif.

Untuk nombor asas 2, wakilkan dengan digit ‘0’ jika positif dan ‘1’ jika negatif.

Untuk nombor asas 8, wakilkan dengan digit ‘0’ jika positif dan ‘7’ jika negatif.

Untuk nombor asas 16, wakilkan dengan digit ‘0’ jika positif dan ‘F’ jika negatif.

Secara amnya, untuk nombor asas r, wakilkan dengan digit ‘0’ jika positif dan ‘r-1’ jika negatif.

2.5 Sistem Kod

Selain daripada sistem bernombor, kita juga perlukan sistem kod yang mengenkod nombor,

aksara dan lain-lain simbol kepada rangkaian bit yang unik. Tiga sistem kod akan dibincangkan

iaitu BCD, kod Gray dan kod ASCII.

  2.5.1 BCD (Binary-Coded-Decimal)

Kita tahu sistem perpuluhan hanya mempunyai sepuluh digit. Digit terbesar ialah 9 dan ia

boleh diwakili oleh 4 bit. Jika setiap digit asas sepuluh dienkodkan ke sistem penduaan

menggunakan pemberat 8 4 2 1, maka jadual 2.4 akan diperoleh. Jadual ini

menunjukkan nombor ‘perpuluhan-terkod-penduaan’ ataupun BCD.

Operasi penambahan dua nombor BCD boleh dilakukan. Setelah menukar setiap digit

asas 10 kepada 4 bit BCD, bit-bit ini ditambah seperti penambahan asas 2. Namun, setiap

set 4 bit harus diperiksa sama ada mengandungi kombinasi tidak sah ataupun telah

melepasi kombinasi 0000. Jika ini berlaku, pembetulan hendaklah dibuat dengan

menambah nilai “6 base 10” atau “0110BCD” kepada set tersebut.

 

Pertukaran kod Gray hanya boleh dibuat melalui sistem penduaan.

Teknik menukar kod Gray ke nombor asas 2:

•  Samakan bit pertama (MSB) dalam nombor asas dua dengan bit pertama (bit yang paling kiri) dalam kod Gray.
• Bandingkan bit pertama dengan bit ke-2 kod Gray. Jika kedua bit itu sama, maka bit ke-2 asas 2 nilainya “0”. Jika kedua bit itu berlainan, maka bit ke-2 asas 2 nilainya “1”.
• Bandingkan bit ke-2 dengan bit ke-3 kod Gray dan hasilkan bit ke-2 nombor asas dua.
• Teruskan perbandingan sehingga semua bit ditukar ke nombor asas dua.

Teknik menukar nombor asas dua ke kod Gray:

• Samakan bit pertama kod Gray dengan bit pertama (MSB) dalam nombor asas 2.

• Bandingkan bit pertama kod Gray dengan bit ke-2 nombor asas dua. Jika kedua bit itu sama, maka bit ke-2 kod Gray nilainya “0”. Jika kedua bit itu berlainan, maka bit ke-2 kod Gray nilainya “1”.

• Bandingkan bit ke-2 kod Gray dengan bit ke-3 nombor asas dua dan hasilkan bit ke-2 kod Gray.

• Teruskan perbandingan sehingga semua bit ditukar ke nombor asas dua.

2.5.3 Kod ASCII

ASCII, atau nama panjangnya American Standard Code for Information Interchange ialah satu kod yang diterimapakai oleh hampir kesemua komputer dan mesin elektronik. Kebanyakan papan kekunci (keyboard) komputer telah dipiawaikan dengan ASCII. Apabila anda menekan butang aksara, nombor atau kawalan, litar pada pada papan kekunci akan menghasilkan kod ASCII untuk dihantar ke komputer. ASCII mempunyai 128 karakter dan simbol yang diwakili oleh 7 bit nombor asas dua. 32 karakter pertama dalam ASCII mewakili arahan (command) yang digunakan untuk tujuan kawalan. Jadual 2.6 di muka sebelah menunjukkan kod ASCII bagi kesemua 128 karakter.

Digital Logik Bab 1: Pengenalan kepada Konsep Digital

Pada akhir bab ini, pelajar dapat:

· membezakan di antara kuantiti digital dan kuantiti analog

· memahami kelebihan dan kekurangan sistem digital

· mengetahui kepentingan dan aplikasi sistem digital dalam bidang sains dan teknologi

1.1 Kuantiti Analog dan Digital

         Litar elektronik boleh dibahagikan kepada dua kategori, iaitu digital dan analog. Litar digital

menggunakan kuantiti digital manakala litar analog menggunakan kuantiti analog. Apakah pula

yang dimaksudkan dengan kuantiti digital dan analog?

         Kuantiti analog mempunyai nilai yang berterusan (continuous). Sebagai contoh, katakan suhu

bilik sedang meningkat dari 25 ke 26 darjah Celsius. Peningkatan suhu ini tidak berlaku dengan

serta merta, sebaliknya meningkat secara berterusan mengikut masa. Oleh itu, suhu tersebut boleh

mengambil sebarang nilai di antara 25 dan 26 darjah. Nilai yang diambil adalah tidak terhad

(infinite). Selain daripada suhu, kuantiti analog yang lain adalah seperti masa, tekanan, jisim,

jarak dan lain-lain. Boleh dikatakan hampir kesemua kuantiti dalam dunia yang nyata ini adalah

dalam bentuk analog.

           Kuantiti digital mempunyai nilai yang diskrit. ‘Diskrit’ merujuk kepada satu urutan atau siri

nombor berangka yang terhad (finite). Contohnya, masa yang dipaparkan pada jam digital adalah

dalam bentuk digit, biasanya dua digit untuk jam, dua digit minit dan dua digit saat. Maka, masa

yang dicatatkan akan diwakili oleh enam digit ini sahaja. Justeru itu, nilai ini adalah terbatas

kerana masa yang lebih kecil daripada sesaat tidak boleh diwakilkan. Walaupun masa sebenarnya

adalah kuantiti analog tetapi telah menjadi kuantiti digital apabila dihasilkan oleh jam digital. 

Kejituan nilai digital boleh ditingkatkan dengan menambah bilangan digit untuk mewakili sesuatu

kuantiti.

1.2 Sistem Digital dan Analog

        Sistem yang memproses atau memanipulasi data dalam bentuk analog disebut sebagai sistem

analog. Contoh sistem analog adalah penguat audio dan perakam pita magnetik. Rajah 1.1

menunjukkan skematik ringkas sistem penguat suara. Suara manusia yang ditujukan ke arah

mikrofon ditukarkan ke isyarat voltan melalui ‘transducer’ yang terdapat pada mikrofon. Voltan

ini berubah mengikut amplitud dan frekuensi suara. Isyarat berterusan yang lemah ini

kemudiannya dikuatkan secara linear menggunakan penguat sebelum disalirkan ke pembesar

suara. Isyarat voltan akhirnya ditukar semula kepada suara yang lebih kuat amplitudnya.

Rajah 1.1 Sistem analog – sistem penguat suara2

Sistem yang memproses atau memanipulasi data dalam bentuk digital disebut sebagai sistem

digital. Antara sistem digital yang utama adalah komputer digital dan kalkulator. Ada sesetengah

sistem mempunyai kedua-dua litar analog dan digital. Dalam sistem seperti ini, penukar

(converter) diperlukan. Terdapat dua jenis penukar iaitu penukar analog-ke-digital (ADC) dan

penukar digital-ke-analog (DAC).

Sistem digital mempunyai banyak kelebihan berbanding sistem analog. Antaranya ialah:

· lebih mudah untuk direkabentuk,

· penyimpanan data boleh dibuat dengan mudah,

· data yang dihasilkan lebih jitu dan tepat,

· operasi boleh diprogram,

· kurang dipengaruhi oleh hingar.

Namun, sistem ini juga mempunyai beberapa kelemahan. Contohnya:

· tidak menggambarkan keadaan sebenar kerana hampir kesemua kuantiti adalah dalam

bentuk analog,

· memerlukan satu dan adakalanya kedua-dua penukar untuk memproses isyarat dalam

bentuk analog dan digital. Ini akan merumitkan rekabentuk litar dan menambahkan kos

pembuatan.

1.3 Aplikasi Sistem Digital

Sistem digital adalah cabang amat penting dalam elektronik. Kegunaannya merangkumi pelbagai

bidang seperti:

· Pengiraan (Computing)

Dua mesin pengiraan utama adalah komputer digital dan kalkulator. Secara ringkasnya,

komputer menerima data dan arahan (instructions) dalam bentuk nombor. Untuk

memudahkan pertukaran nombor kepada isyarat yang difahami oleh litar elektronik,

maka sistem nombor asas dua digunakan.

· Komunikasi

Litar elektronik dalam mesin faksimile, telefon mudah alih, sistem radar dan antena,

serta penggunaan satelit di angkasa lepas adalah beberapa contoh penggunaan sistem

digital dalam bidang komunikasi.

· Instrumentasi

Kesemua jenis alat pengukuran dan pengawasan digital adalah di bawah bidang ini.

Sebagai contoh, oskiloskop digital, penganalisa spektrum, dan pengukur voltan digital.

· Kawalan Automasi

Kawalan ke atas peluru berpandu ‘pintar’, mesin dan robot dalam pembuatan sesuatu

produk, dan lif, kesemuanya memerlukan sistem digital.